Heinrich Rennings wurde am 9. Juli 1926 in Moers am Niederrhein geboren. Nach Studien in Münster und Innsbruck promovierte er in Innsbruck 1952 zum Doktor der Philosophie. 1955 wurde er für seine Heimatdiözese Münster zum Priester geweiht, verbrachte danach seine Kaplanszeit in Xanten und übernahm als Subdirektor des Collegium Borromaeum die liturgische Ausbildung im Priesterseminar. Nach einem Studienaufenthalt in Paris, wo er den französischen Protagonisten der Liturgischen Bewegung begegnete, promovierte er 1965 in Innsbruck mit einer Arbeit zum Thema „Die pastoralliturgischen Weisungen der neueren deutschen Diözesansynoden zur Eucharistie (1918–1963)“ bei Josef Andreas Jungmann zum Doktor der Theologie. Ab 1966 wirkte Rennings am Liturgischen Institut Trier zunächst als Referent, ab 1970 als Direktor der damaligen pastoralliturgischen Abteilung, bis er 1975/1976 als Professor für Liturgiewissenschaft an die Theologische Fakultät Paderborn berufen wurde. Von 1985 bis zu seinem Tod am 3. Oktober 1994 war er Leiter des Liturgischen Instituts in Trier, zugleich Sekretär der Liturgiekommission der Deutschen Bischofskonferenz und Konsultor der römischen Gottesdienstkongregation.
Sowohl in seinem wissenschaftlichen Wirken in Paderborn als auch in seinen sonstigen Funktionen im Dienst der Kirche stand für Heinrich Rennings der pastoralliturgische Impuls des Konzils im Vordergrund, den er in verschiedenen Kommissionen, Studiengruppen und Herausgeberschaften sowie in seinen Lehrveranstaltungen stark machte. Schon 1961 begründete er die „Reihe Lebendiger Gottesdienst“ und initiierte ab 1983 als Herausgeber die Sammlung der „Dokumente zur Erneuerung der Liturgie“.